Dopo aver trovato un metodo rapido per disegnare la retta, perché non cercarlo anche per la parabola?
Motivazione
Abbiamo imparato a disegnare alcuni tipi di rette senza fare calcoli, e questo è molto comodo.
Per le parabole qualche calcolo lo si deve fare, ma è comunque possibile trovare un metodo che velocizza il loro disegno.
Percorso
Per capire il metodo, bisogna partire da molto lontano: dai numeri quadrati che erano stati studiati fin dalla scuola di Pitagora.
Si può osservare che per passare da un quadrato al successivo, basta aggiungere quella striscia ad angolo colorata in verde. Questa figura ad angolo si chiama “gnomone”. È evidente che ogni gnomone è costituito da un numero dispari di punti e se osserviamo in sequenza gli gnomoni possiamo vedere che sono costituiti dalla sequenza dei numeri dispari.
Ogni volta che il lato del quadrato aumenta di 1, l’area aumenta di un numero dispari.
Regola dei numeri dispari
La procedura per disegnare una parabola è composta dai seguenti passi:
- calcola le coordinate del vertice della parabola;
- partendo dal vertice, ogni volta che x aumenta o diminuisce di 1, y aumenta del successivo numero dispari.
Per iniziare, vogliamo disegnare la parabola di equazione:
In questo caso caso il vertice della parabola è V(0; 0).
I successivi punti si ottengono partendo dal vertice e aumentando:
- x di 1 e y di 1
- x di 1 e y di 3
- x di 1 e y di 5
- x di 1 e y di 7
- x di 1 e y di …
Dato che la parabola è simmetrica rispetto all’asse per il vertice, gli stessi incrementi si hanno quando x diminuisce di 1.
Se il vertice non cade nell’origine degli assi basta calcolare le sue coordinate e poi partire da lì per applicare la regola dei numeri dispari.
E cosa fare se il coefficiente del termine di secondo grado è diverso da 1?
- se a = 2: invece di contare un numero dispari di quadretti conterò un numero dispari di coppie di quadretti (2, 6, 10, …);
- se a = 3: conterò un numero dispari di terne di quadretti (3, 9, 15, …);
- …
- se a = 1/2 conterò un numero dispari di mezzi quadretti;
- se a = 1/3 conterò un numero dispari di terzi di quadretti;
- …
Conclusioni
La possibilità di disegnare rapidamente la parabola permette di affiancare più facilmente ai problemi la loro rappresentazione grafica, evitando che rimangano dei puri esercizi algebrici di applicazione di una regola e rendendoli più sensati.
Problema
Contare è spesso vista come un’attività poco interessante, non degna di essere insegnata. Nella mia esperienza didattica ho visto che non è così:
non sempre i miei alunni sono in grado di contare i giorni, i passi i gradini di una scala, i quadretti, le coppie o le terne di quadretti oppure i mezzi quadretti o i terzi di quadretto.
Dedicare un po’ di tempo a imparare a contare dovrebbe essere un impegno di ogni insegnante di matematica.