Il tema che segna tutto il quinto anno è quello delle funzioni… funzioni reali di variabile reale.
Dare uno sguardo alle funzioni presenti nei linguaggi di programmazione può aiutare a capire il loro significato e la loro importanza di più di quanto si possa fare con alcuni esempi del tutto avulsi dalla realtà applicati a generici insiemi.
Motivazione
La definizione di funzione come:
“Particolare tipo di relazione…”
non è particolarmente immediata, pone delle condizioni che non si capisce bene che senso abbiano e si basa sul concetto di relazione che a sua volta è:
“Una legge che associa agli elementi di un insieme gli elementi di un altro insieme” (altro concetto tutt’altro che comune).
Potremmo anche dire che una funzione è un particolare sottoinsieme del prodotto cartesiano tra due insiemi, ma la situazione non migliora
Queste sono definizioni che vanno bene per chi sa già cosa sono le funzioni, non vanno bene per imparare che cosa sono.
Percorso
Nel volume di quinta viene proposto uno strano percorso relativo alle funzioni.
Il concetto di funzione proposto è derivato più dall’informatica che dalla matematica.
Questo permette di dare una definizione operativa, vicina all’intuizione.
Chiameremo funzione un qualunque processo che dia un risultato.
Il centro è posto sul risultato che deve:
- essere unico;
- essere accettato da tutti.
Inizialmente possiamo costruire funzioni usando un linguaggio di programmazione, questo permette di fare esperimenti e di esplorare diverse situazioni molto più significative di quanto si possa fare usando la simbologia degli insiemi.
Un esempio di definizione di funzione scritta in Python:
La parola riservata “def” è seguita dal nome della funzione “saluto” poi ci sono parentesi e un carattere due punti.
La seconda riga è un commento che contiene una “documentazione” della funzione.
La terza riga contiene il comando “return” che termina la funzione e restituisce il risultato.
Un esempio di chiamata della funzione è:
La funzione “print” stampa a video il risultato della funzione “saluto”.
Una funzione diventa più utile quando ha dei parametri, cioè quando è in grado di ricevere degli argomenti e di dare un risultato che dipende da questi.
Come esempio possiamo pensare alla funzione che calcola la media di due numeri:
Il risultato che verrà visualizzato dalla funzione “print” sarà: 6.
I valori che vengono passati a una funzione, per produrre il risultato, si chiamano argomenti.
La funzione media riceve due numeri (gli argomenti) e produce un numero (il risultato). Ma possiamo avere funzioni che ricevono una stringa (cioè una sequenza di caratteri) e producono un numero:
In questo caso, print visualizzerà il numero 5.
Dall’esempio precedente possiamo osservare che il tipo degli argomenti e del risultato, non deve per forza essere lo stesso.
Diamo allora due definizioni:
Chiameremo dominio un insieme che contiene tutti gli elementi che
possono essere argomenti della funzione.
Chiamiamo codominio un’insieme che contiene tutti i risultati di una funzione.
Però non è detto che tutti gli elementi del dominio producano effettivamente un risultato, quindi:
Chiameremo insieme di definizione di una funzione, il sottoinsieme del dominio formato dagli elementi che permettono di calcolare un risultato.
E non è detto che tutti gli elementi del codominio siano effettivamente risultati che la funzione può produrre, quindi:
Chiamiamo insieme immagine di una funzione il sottoinsieme del codominio che contiene solo i risultati di una funzione.
Possiamo riassumere la situazione con il seguente grafo:
Dopo aver pasticciato con funzioni definite su insiemi vari, possiamo restringere il nostro campo di ricerca alle funzioni reali:
Chiamiamo funzione reale di variabile reale o, più semplicemente, funzione reale ogni funzione che ha per Dominio e per Codominio l’insieme dei numeri reali.
Una funzione reale può essere rappresentata in diversi modi, ad esempio:
Non è detto che la scrittura matematica di una funzione ci permetta di immaginare il suo andamento, a volte può essere utile una tabella che riporti alcuni valori dell’argomento e del corrispondente risultato:
x: -6 -5 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5 6
f(x): 0.0 0.5 1.0 1.5 2.0 2.5 3.0 3.5 4.0 … … … …
Dato che possiamo rappresentare i numeri reali su una retta, possiamo anche realizzare un disegno nel quale facciamo corrispondere gli argomenti ai risultati.
Vediamo un altro caso:
Possiamo costruire la tabella con le corrispondenze tra argomento e risultato.
E possiamo costruire anche il grafo con due assi che però diventa molto più complicato e difficile da leggere:
L’idea geniale è stata quella di ruotare di 90 gradi uno dei due assi e sostituire le coppie di numeri (argomento; risultato) con un unico punto:
In questo modo è possibile passare facilmente dalla tabella di alcuni valori della funzione alla sua rappresentazione cartesiana:
Conclusioni
- La definizione come “Risultato di un procedimento” è decisamente più intuitiva.
- Io preferisco la distinzione tra Dominio e Insieme di definizione (vedi W.Maraschini, M.Palma) anche se è praticamente scomparsa dai testi scolastici: è simmetrica e permette di dare un nome anche all’insieme di cui l’insieme di definizione è un sottoinsieme.
- Per chi provasse troppo fastidio a usare la convenzione precedente, basta un po’ di bianchetto e rinominare due insiemi.
- In Matematica Dolce il capitolo successivo non è coerente con questo: è voluto; gli alunni devono imparare che insegnanti diversi (e testi diversi) possono seguire convenzioni diverse e non è detto che siano in grado di adattarsi.
- Una definizione più intuitiva potrebbe permettere di introdurre, in modo sensato, le funzioni fin dai primi anni e questo potrebbe portare ad un miglioramento della comprensione di certi argomenti.
Problema
Gli insegnanti sono molto legati alle proprie convenzioni.
Nella mia esperienza ho visto che i ragazzi riescono a passare facilmente dalla teoria che prevede Dominio e Insieme di definizione agli esercizi che prevedono solo Dominio, capiscono dal contesto e si adattano alle richieste.