Grafi ad albero

Nel primo volume viene proposto un metodo strano per la soluzione delle espressioni con i numeri naturali.

Motivazione

Perché riprendere i numeri naturali:

  • arrivano alunni da diverse scuole, è utile cercare di assicurarsi una base di competenze comuni;
  • una certa familiarità con le operazioni con i numeri naturali è essenziale per poter cavarsela nella vita (e anche comprendere gli esempi più semplici che si incontreranno in seguito);
  • alcune metodi e concetti usati nei numeri naturali ritornano poi in altri argomenti matematici;
  • dal punto di vista matematico i numeri naturali sono tutt’altro che un argomento banale, sono alla base del funzionamento della nostra società (crittografia e fattorizzazione, RSA) e presentano dei problemi ancora aperti (congettura di Goldbach).

Perché proporre la soluzione di espressioni con i grafi ad albero:

  • perché il solito metodo è già stato proposto fin dalle elementari, è importante proporre metodi nuovi per dare da subito l’idea che veniamo a scuola per imparare, non per far vedere quanto siamo bravi;
  • perché con questo metodo separiamo due problemi spesso confusi: il calcolo e le precedenze delle operazioni;
  • perché introduciamo e facciamo usare uno strumento matematico (non solo matematico) molto importante: i grafi ad albero;
  • perché questa attività può aiutare a imparare a organizzare segni grafici nello spazio a disposizione;
  • perché con questo metodo si evita l’operazione banale di ricopiare parti dell’espressione.

Percorso

Si inizia scrivendo l’espressione con i termini un po’ distanziati avendo cura di riservare un adeguato spazio sotto di essa.
Poi si costruisce un grafo ad albero nel quale si fa corrispondere un nodo a ogni operazione.

Il nodo finale si chiama radice, i numeri presenti nell’espressione sono le foglie, le linee che congiungono i nodi si chiamano rami.

Ogni nodo, a parte le foglie, è costituito da due parti:

  • una specie di imbuto miscelatore su cui è riportato il simbolo dell’operazione;
  • un contenitore dove verrà scritto il risultato dell’operazione (per la potenza possiamo usare una freccia verso l’alto).

Attorno ai nodi che contengono il risultato di un’espressione tra parentesi riportiamo i simboli della parentesi.

Nella fase di disegno dell’albero è fondamentale porre tutta l’attenzione sulla precedenza delle operazioni mentre possiamo disinteressarci del calcolo.

Nella seconda fase si eseguono le operazioni ottenendo, nella radice, il risultato.
Ovviamente i miei alunni tendono a non distinguere per bene le due fasi e, man mano che disegnano il grafo, eseguono anche le operazioni.
Io li invito a separare le due azioni, ma li lascio fare..

Espressioni con il buco

Una volta che è stato capito il meccanismo, propongo delle espressioni dove manca uno degli operandi mentre è dato il risultato.
Il problema qui è trovare il valore mancante.

Grafo applicato ad una espressione con il buco.

In questo esempio manca un esponente.
Per trovarlo, disegniamo il grafo e calcoliamo tutti i nodi che possiamo calcolare.
Resteranno vuoti tutti i nodi che formano un percorso che va dal termine incognito al risultato.
Cambiamo colore della penna e riportiamo nella radice il valore del risultato e ci chiediamo quale dovrà essere il valore del nodo precedente al risultato (quello indicato qui con una stellina): in questo caso devo trovare il numero che diviso per due da come risultato nove.
Poi, ricorsivamente, si risale fino al termine mancante:

Espressione con il buco risolta.

Conclusione

Con questa attività abbiamo:

  • ripreso il calcolo con i numeri naturali;
  • posto l’attenzione sulle regole della precedenza algebrica;
  • introdotto e lavorato con i grafi ad albero;
  • lavorato con le operazioni inverse;
  • applicato una procedura ricorsiva;
  • cercato dei modi per gestire al meglio lo spazio.

Problema

Il metodo proposto è essenzialmente visivo e questo, se aiuta alcune persone, è del tutto inutilizzabile da altre. Cosa fare per chi è cieco, ipovedente o non è in grado di disegnare il grafo?
Nel testo è riportata una soluzione che dovrebbe essere facilmente utilizzabile anche da chi non può realizzare i grafi ad albero. Questo secondo metodo lo si può seguire anche usando i programmi di matematica per i ciechi, come ad esempio Lambda.

Tour

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