Tra il quarto e il quinto anno proponiamo ai nostri alunni un percorso di analisi delle funzioni reali.
Il percorso parte dai Limiti che sono un argomento tutt’altro che intuitivo.
Non c’è un percorso didattico migliore?
Motivazione
Tutto quello che insegniamo di analisi è stato formulato prima dell’invenzione dei limiti. I limiti hanno permesso di rendere coerente una teoria estremamente feconda ma affetta da alcune contraddizioni, cosa inaccettabile per la matematica.
L’invenzione dei numeri iperreali ha permesso di dare coerenza all’analisi senza basarla sui limiti. È stata così inventata l’Analisi Non Standard (NSA).
Il concetto di limite è presente anche nella NSA, ma non ha più un ruolo centrale e viene trasformato in un semplice calcolo algebrico tant’è vero che lo si può proporre come applicazione del calcolo con i numeri iperreali (vedi i numeri iperreali).
Affrontare l’analisi, o meglio il calcolo infinitesimale, saltando a piè pari i limiti permette un notevole risparmio di tempo e di risorse andando direttamente a trattare gli argomenti più interessanti.
Percorso
Se gli iperreali sono stati trattati nel terzo anno e utilizzati durante il quarto, limiti e derivate di una funzione in un punto saranno concetti acquisiti.
Si tratta ora di affrontare il concetto di funzione derivata e affrontare i teoremi che semplificano il calcolo differenziale.
Per prima cosa viene definito il differenziale di una funzione. Da notare che nell’analisi standard il differenziale viene definito a partire dalla derivata, noi invece proponiamo un percorso in cui la derivata viene definita a partire dal differenziale.
Un esempio può aiutare a capire questo semplice concetto. Si può notare come il disegno usi gli strumenti ottici messi a disposizione dai numeri iperreali per osservare il comportamento di una funzione a distanze infinitesime da un certo punto.
Dopo aver precisato il concetto di differenziale di una funzione si passa a generalizzare il calcolo studiando (dimostrando) come si calcola il differenziale di alcune funzioni particolari in un punto generico.
- la funzione costante;
- la funzione identica;
- la funzione lineare, quadratica, …;
- la funzione potenza;
A questo punto si studiano alcune situazioni critiche: funzioni che non sono differenziabili in alcuni punti.
Costruito un primo catalogo di differenziali di funzioni elementari, si dimostrano le regole per:
- il prodotto di una funzione per una costante;
- la somma di funzioni;
- il prodotto di funzioni;
- il quoziente di funzioni.
Da notare che alcune dimostrazioni possono avvantaggiarsi di una visualizzazione grafica che può aiutare a una comprensione più profonda.
Il risultato lo si può sintetizzare nella tabella:
Nelle ultime due regole invece che l’uguale è stato usato il simbolo di indistinguibile, ovvero, le due espressioni non sono uguali ma differiscono per una quantità infinitesima rispetto a ciascuna.
A questo punto si passa al concetto di pendenza che in una retta è il rapporto incrementale:
E in una curva è la pendenza della tangente in un punto:
In una curva come pendenza della tangente in un punto:
E la pendenza della tangente è il rapporto differenziale.
Ora possiamo dare la definizione di derivata in un punto:
A questo punto, e con in mano i teoremi sui differenziali, si ottengono facilmente le regole di derivazione di alcune funzioni elementari e delle funzioni che si ottengono come somma, prodotto o quoziente di funzioni elementari.
C’è ancora del lavoro per ottenere le derivate delle funzioni trascendenti: esponenziali, logaritmiche e goniometriche.
Più complicato è dimostrare le regole per le funzioni composte e inverse.
Comunque alla fine si giunge ad una tabella riassuntiva:
Il capitolo si chiude con alcune applicazioni della derivata.
Conclusioni
Se gli iperreali sono già stati studiati negli anni precedenti, in quinta ci si può concentrare su funzioni, derivate e integrali, altrimenti bisogna dedicare agli iperreali il tempo che si sarebbe dedicato ai limiti. Ma studiare questo nuovo insieme numerico è molto più divertente e fecondo che studiare i limiti.
Ovviamente le regole del calcolo differenziale non cambiano tra l’analisi standard o non standard, quello che cambia è il modo di arrivarci che, nel caso dell’analisi non standard è più semplice e sensato. Perciò tutti gli esercizi e i problemi sono esattamente gli stessi e si svolgono esattamente nello stesso modo.
Problema
“Ma il commissario esterno che non conosce l’analisi non standard cosa farà?”
Per quanto riguarda le applicazioni, i problemi e i quesiti, non cambia nulla.
Per quanto riguarda le dimostrazioni dovrà accettare quelle basate su infinitesimi e infiniti che Abraham Robinson ha fatto diventare numeri del tutto coerenti all’interno degli iperreali. Se non le ha mai sentite, se le farà spiegare dagli esaminandi.