La matematica e la fisica per due secoli a partire da Newton e Leibniz hanno sviluppato delle teorie fondamentali: l’analisi e la fisica classica.
C’era però un problema: lo strumento usato, il calcolo infinitesimale, era incoerente e quindi, sebbene abbia permesso grandissime scoperte, era inaccettabile per un matematico.
A metà del secolo scorso un grande logico, Abraham Robinson, ha inventato un nuovo insieme numerico che ha dato coerenza al calcolo infinitesimale.
Motivazione
Perché introdurre i numeri iperreali?
- sono uno strumento potente e alla portata dei nostri alunni;
- rende più semplice lo studio dell’analisi;
- permette di spalmare lungo gli ultimi tre anni gli argomenti solitamente riservati all’ultimo anno di studio;
- è bello insegnare qualcosa di recente.
Percorso
I numeri iperreali sono proposti in terza.
Ci sono molti modi per introdurre i numeri iperreali, la nostra proposta è quella di aggiungere un nuovo numero ai numeri reali. Questo nuovo numero “epsilon” non è un numero reale, ma è un numero che in valore assoluto è minore di qualunque numero reale positivo:
Questa semplice aggiunta porta ad una esplosione di numeri: se epsilon è un infinitesimo, anche la sua metà o un suo multiplo sono infinitesimi, quindi abbiamo infiniti infinitesimi.
La somma di un reale con un infinitesimo dà un nuovo numero iperreale, ovviamente non infinitesimo.
E il reciproco di un infinitesimo non può essere finito, quindi se esiste un infinitesimo esiste anche un infinito… e quindi infiniti infiniti.
Quindi gli iperreali saranno costituiti da:
- Zero: l’unico numero reale infinitesimo.
- Infinitesimi non nulli: numeri infinitesimi, escluso lo zero.
- Finiti: numeri che non sono infiniti.
- Finiti non infinitesimi: numeri che non sono né infiniti né infinitesimi.
- Infiniti: numeri che, in valore assoluto, sono maggiori di qualunque numero reale.
Per semplificarci la scrittura possiamo usare alcune convenzioni
In certe operazioni, conoscendo il tipo degli operandi possiamo stabilire il tipo del risultato, ma in altri casi per ottenere il tipo del risultato servono maggiori informazioni. Alcuni esempi:
- Infinito + Infinito = dipende (attenti al segno degli operandi);
- Infinito positivo + Infinito positivo = Infinito positvo;
- infinitesimo per infinitesimo = infinitesimo;
- infinitesimo fratto infinitesimo = dipende;
- infinitesimo fratto non infinitesimo = infinitesimo;
- non infinitesimo fratto infinitesimo = Infinito;
- infinitesimo per Infinito = dipende;
- finito più finito = finito;
- …
Una funzione importante presente negli iperreali è la funzione Parte Standard. È una funzione che prende come argomento un iperreale finito e dà come risultato l’unico numero reale infinitamente vicino all’argomento.
È possibile visualizzare gli iperreali sulla retta iperreale usando degli strumenti ottici non standard:
Una importante relazione tra i numeri iperreali è quella di indistinguibilità:
Due numeri si dicono indistinguibili se la loro differenza è infinitamente più piccola di ciascuno di loro:
Questo permette di semplificare i calcoli in molte situazioni.
Stabilite un po’ di regole nell’uso di questi nuovi numeri possiamo allenarci ad applicarli ad alcuni calcoli utili.
Prima applicazione: i limiti
La definizione di limite data dall’analisi “standard” è complicata e non operativa, nell’Analisi Non Standard il limite si traduce in una semplice espressione il cui calcolo fornisce il limite cercato:
Nel caso del limite per x che tende all’infinito:
Vediamo un paio di esempi:
Seconda applicazione: pendenza di una curva in un punto
Conclusioni
Il piccolo sforzo necessario per apprendere il calcolo con gli iperreali permette agli alunni di una classe terza di calcolare i limiti e di calcolare la derivata di una funzione in un punto.
Non male!
Problema
“Ma da chi andremo per le ripetizioni, che nessuno conosce questi numeri?”