In tutti i testi dopo le equazioni si affrontano le disequazioni. Matematica Dolce non fa eccezione, ma qui le disequazioni sono viste come un’applicazione di un altro concetto, ben più importante, che viene proposto come centro del capitolo.
Motivazione
Inutile indicare l’importanza delle disequazioni, sia negli argomenti interni alla matematica, si pensi semplicemente allo studio dell’insieme di definizione di una funzione, sia nel campo della ricerca operativa, dei calcoli strutturali, delle scienze sociali, …
Perché partire dallo studio del segno:
- perché rispecchia il procedimento più profondo che effettivamente viene fatto;
- propone una soluzione basata sulla comprensione più profonda invece che sull’applicazione di meccanismi spesso poco motivati;
- Propone una soluzione che può essere allargata anche ad altre situazioni.
Percorso
In seconda si lavora su polinomi di primo grado, si studia dunque il segno del binomio.
Si può partire da due funzioni chiedendo di calcolarne alcuni valori costruendo una tabella.
Si può osservare che, al crescere di x, il polinomio f passa da valori positivi a valori negativi il polinomio g passa da valori negativi a valori positivi.
Possiamo così disegnare il grafico delle due funzioni indicando con colori diversi le parti positive e quelle negative delle rette:
In realtà a noi interessa solo sapere dove la retta è positiva e dove è negativa, possiamo quindi rendere il disegno molto più essenziale:
Si completa il grafico indicando con un segno più la parte positiva della retta e con un segno meno quella negativa.
Riassumendo, lo studio del segno si effettua con i seguenti due passi:
Studiato il segno di un polinomio, si può passare al segno del prodotto di due polinomi:
Il caso di una funzione fratta si differenzia dal prodotto solo per un piccolo particolare (piccolo ma piuttosto rognoso): il denominatore deve essere diverso da zero.
Da un punto di vista pratico cambia poco: usiamo per indicare lo zero del denominatore non un cerchietto ma una crocetta che sta a indicare che quel valore rende impossibile da calcolare la funzione.
Vediamo come risolvere questo esempio:
Solo a questo punto affrontiamo le disequazioni cioè le consideriamo, come è in realtà, una delle applicazioni dello studio del segno di una funzione:
E qui riprendiamo i tre modi per descrivere gli insiemi numerici, modi che erano già stati introdotti nel capitolo sugli insiemi (vedi: Intervalli numerici).
Conclusioni
È molto più semplice risolvere le disequazioni senza passare dallo studio del segno, ma questo metodo “semplice” rende più difficile una comprensione profonda di quello che si sta facendo e porta con sé dei misconcetti che poi complicano la soluzione di disequazioni fratte o disequazioni di grado superiore.
Perché usare un metodo più complesso:
- permette di collegare l’argomento ad altri: funzioni, rette, insiemi;
- permette una comprensione più profonda e meno meccanica;
- lo stesso identico meccanismo si applica anche allo studio del segno di polinomi di grado superiore al primo e lo si può applicare anche al segno di funzioni esponenziali o logaritmiche.
Problema
Il primo problema è quello che si deve investire un po’ più di tempo rispetto a quello previsto per i metodi meccanici. Il vantaggio è che quel tempo lo si recupera nelle disequazioni di secondo grado.
Un secondo problema è che quegli alunni che vanno a lezione spesso incontrano un insegnante che, avendo molte cose da fare, non ha la pazienza di capire cosa sta facendo a scuola e quindi sostenere le proposte dell’insegnante.
Il risultato è che l’alunno, alla fine non ha capito né quello che gli è stato insegnato a scuola né quello che gli è stato insegnato durante le “ripetizioni”: disastro!
percorso ottimo, complimenti. Per me del tutto nuovo e purtroppo ormai non lo posso più provare. Il secondo problema è grottesco: i genitori dovrebbero provare a fidarsi degli insegnanti.
Volendo non c’è nemmeno bisogno di fare il grafico del “cimitero”. Una funzione (anche fratta) contiua cambia segno solo quando attraversa uno zero. Quindi si prendono tutti i punti in cui la funzione si annulla (sia il numeratore che il denominatore). A sinistra e destra di quei punti la funzione avrà segno diverso. Si studia poi il segno della funzione per x=0 (o un altro punto se x=0 è uno zero) e si è risolto il problema. Certo, questo vale se lo zero della funzione è semplice, bisogna stare attenti, ma almeno gli alunni sono obbligati a ragionare, il grafico dei segni non mi è mai piaciuto.
Certo, è una questione di gusti.
Però bisogna stare attenti alle semplificazioni: la funzione non cambia segno, né “solo” né “sempre”, quando la funzione si annulla.
Come scrivi nell’inciso, può cambiare segno quando si annulla il numeratore ma anche quando si annulla il denominatore, e in questo caso non è detto che valga zero la funzione. Ma può anche non cambiare segno, quando si annulla il numeratore.
Quindi c’è una regola semplice che pero funziona solo in alcuni casi e per applicarla c’è bisogno di fare ragionamenti approfonditi sul tipo di funzione che abbiamo davanti; il rischio è che alcuni alunni, di solito quelli con maggiore difficoltà, imparino la parte semplice della regola, ma poi non siano in grado di considerare tutto il resto. In questo caso la regola si trasforma in un trabocchetto.
Inoltre questo argomento lo propongo prima di esporre la continuità delle funzioni e il teorema degli zeri, quindi il metodo da te proposto non è utilizzabile nel mio caso.
Nel percorso proposto in Matematica Dolce, questo argomento viene visto come un’applicazione di quanto appreso riguardo le operazioni (moltiplicazione e divisione), le rette e le parabole. Quindi non viene presentato come un argomento “a sé”, ma un argomento che si collega a diversi altri argomenti trattati. E ogni connessione tra diversi argomenti è una buona cosa perché dà senso e rafforza la comprensione.
A me il grafico dei segni piace, perché sintetizza una grande quantità di informazioni che richiederebbero altrimenti delle ulteriori precisazioni. Nel grafo si può anche leggere l’insieme di definizione della funzione. Questo grafo quindi si collega a argomenti già svolti e è in grado di integrare argomenti che verranno proposti più avanti.
Però non è detto che sia il migliore modo per esprimere queste cose se ci sono modi più sensati ben vengano.
Grazie per le osservazioni.